Solutions Analytique et Numérique des Poutres Hyperstatiques
Des informations générales:
Le niveau |
Master |
Titre |
Solutions Analytique et Numérique des Poutres Hyperstatiques |
SPECIALITE |
Génie Civil |
Page de garde:
Sommaire:
Chapitre 1
Introduction sur la mécanique des structures
1.1.1 Introduction 14
1.1.2 Définition d’une structure 14
1.1.3 Analyse des structures 14
1.1.4 Historique de l’analyse des structures 15
1.2 Structures isostatiques et hyperstatiques 15
1.2.1 Indétermination statique 15
1.2.2 Détermination du degré d’hyperstaticité 17
1.3 Les treillis 17
I.3.1 Introduction 17
1.3.2 Degré d’hyperstaticité d’un treillis plan 17
1.4 Les poutres et portiques 18
1.4.1 Les poutres 18
1.4.2 Les portiques 18
1.5 Principes fondamentaux de la théorie des poutres 19
I.6 Methodes de calcul 20
1.6.1 Methode des forces 21
1.6.1.1 Système concordant 22
1.6.1.2 Théorème de Menabrea 22
1.6.1.3 Principe de la méthode des forces 22
1.6.1.4 Equations de continuité 22
1.6.1.5 Exemples d’application 22
1.6.1.5.1 Exemple 1 : inconnues hyperstatiques externes 23
1.6.1.5.2 Exemple2: inconnues hyperstatiques internes 24
1.6.2 Méthode des trois moments 24
1.6.2.1 Formules de Clapeyron 25
1.6.2.2 Méthode de résolution 25
1.6.2.3 Exemple 27
1.6.3 Théorème de CASTIGLIANO 28
1.6.3.1 Introduction 28
1.6.3.2 Principe de la conservation de l’énergie 28
1.6.3.3 Travail de déformation des sollicitations simples dans le cas des poutres 30
1.6.3.3.1 Effort normal 30
1.6.3.3.2 Moment fléchissant 31
1.6.3.3.3 Effort tranchant 32
1.6.3.3.4 Moment de torsion 32
1.6.3.4 Expression générale de l’énergie potentielle de déformation 33
1.6.3.5 Travail virtuel 34
1.6.3.6 Première forme du théorème 35
1.6.3.7 Exemples d’application 35
1.6.3.7.1 Exemple 1 36
1.6.3.7.2 Exemple 2 36
1.6.3.8 Utilisation d’une sollicitation auxiliaire 37
1.6.3.9 Exemples d’application 38
1.7 conclusion 39
Generalité sur la méthode des élements finis 40
Classification des problèmes d’analyse des contraintes 45
2.1.1 Introduction 45
2.1.2 Noeuds et éléments 45
2.1.3 Etapes d’analyse par la MEF 46
2.1.4 Etapes d’analyse par la MEF 47
2.1.5 Connaissances nécessaires à un utilisateur MEF 49
2.1.6 Discrétisation 50
2.1.7 Analyse lineaire statique des barres articulees et des poutres 52
2.2 Solutions Analytique et Numérique des Poutres Hyperstatiques 53
2.2.1 Introduction 53
2.2.2 Déduction de la matrice de rigidité pour l’élément de barre articulée 54
2.2.3 Déduction de la matrice de rigidité pour l’élément de poutre 55
2.2.4 Systèmes de coordonnées globals et locals 56
2.2.5 Propriétés de la matrice de rigidité 57
2.3 Exposition de la méthode aux problèmes unidimensionnels 58
2.3.1 Elément de barre à deux nœuds avec joints rigides 59
2.3.2 Interpolation nodale sur les déplacements 59
2.3.3 Relation déplacement -déformation 60
2.3.4 Relation déformation – contrainte 60
2.3.5 Calcul des efforts internes 61
2.3.6 Calcul de la matrice de rigidité élémentaire 62
2.3.7 Formulation globale 63
2.4 Assemblage pour plusieurs éléments 64
2.4.1 Formulation élémentaire 64
2.4.2 Matrice de rigidité globale (par assemblage) 65
2.5 Logiciel Maple 66
2.5.1 La résolution du système d’équations 66
2.5.2 Entrée des données 67
2.6 La résolution d’un modèle éléments finis 68
2.6.1 Organigramme du programme de calcul 68
2.6.2 Résolution et analyse des résultats 69
2.6.3 Le calcul des résultats demandés par l’utilisateur : le post-traitement 70
2.6.4 Déplacements et déformées 71
2.6.5 Déformations, contraintes et efforts de liaison 72
2.6.6 Choix raisonné du degré de complexité du modèle 72
2.7 Conclusion 73
Chapitre 3: Etude du comportement des poutres hyperstatiques par les méthodes analytiques et numériques 74
3.1 Introduct 74
3.2 Representation de la théorie des poutres en éléments finis 75
3.2.1 Rappel sur la théorie des poutres 75
3.2.2 Formulation en élément finis 76
3.2.3 Matrice de rigidité élémentaire de flexion [K] 77
3.2.4 l’expression du moment de flexion M ̊(x) 78
3.3 Code de calcul par éléments finis 79
3.4 Étude comparative 80
3.5. Exemple 01 81
3.5.1 Solution éléments finis 81
3.5.1.1 Matrice de rigidité élémentaire 82
3.5.1.2 Matrice de rigidité globale 82
3.5.1.3 vecteur des forces nodales {F} 83
3.5.1.4 Résolution du système 83
3.5.1.5 système de détermination déplacements inconnus 84
3.5.1.6 Système de détermination des réactions d’appuis 84
3.5.1.7 diagramme des moments 85
3.5.2 Solution analytique 86
3.6 Exemple 02 87
3.6.1 Solution analytique 87
3.6.2 Solution éléments finis 88
3.7 Exemple traitement 89
3.7.1 Influence de la position de la charge sur le comportement de la poutre continue 89
3.7.2 Présentation et interprétation des résultats 90
3.7.2.1 Présentation des résultats 90
3.7.2.2 Commentaires 90
3.8 Conclusion 91
Conclusion generale 92
Références bibliographiques 93
Annexe 94
Introduction sur la mécanique des structures
1.1.1 Introduction 14
1.1.2 Définition d’une structure 14
1.1.3 Analyse des structures 14
1.1.4 Historique de l’analyse des structures 15
1.2 Structures isostatiques et hyperstatiques 15
1.2.1 Indétermination statique 15
1.2.2 Détermination du degré d’hyperstaticité 17
1.3 Les treillis 17
I.3.1 Introduction 17
1.3.2 Degré d’hyperstaticité d’un treillis plan 17
1.4 Les poutres et portiques 18
1.4.1 Les poutres 18
1.4.2 Les portiques 18
1.5 Principes fondamentaux de la théorie des poutres 19
I.6 Methodes de calcul 20
1.6.1 Methode des forces 21
1.6.1.1 Système concordant 22
1.6.1.2 Théorème de Menabrea 22
1.6.1.3 Principe de la méthode des forces 22
1.6.1.4 Equations de continuité 22
1.6.1.5 Exemples d’application 22
1.6.1.5.1 Exemple 1 : inconnues hyperstatiques externes 23
1.6.1.5.2 Exemple2: inconnues hyperstatiques internes 24
1.6.2 Méthode des trois moments 24
1.6.2.1 Formules de Clapeyron 25
1.6.2.2 Méthode de résolution 25
1.6.2.3 Exemple 27
1.6.3 Théorème de CASTIGLIANO 28
1.6.3.1 Introduction 28
1.6.3.2 Principe de la conservation de l’énergie 28
1.6.3.3 Travail de déformation des sollicitations simples dans le cas des poutres 30
1.6.3.3.1 Effort normal 30
1.6.3.3.2 Moment fléchissant 31
1.6.3.3.3 Effort tranchant 32
1.6.3.3.4 Moment de torsion 32
1.6.3.4 Expression générale de l’énergie potentielle de déformation 33
1.6.3.5 Travail virtuel 34
1.6.3.6 Première forme du théorème 35
1.6.3.7 Exemples d’application 35
1.6.3.7.1 Exemple 1 36
1.6.3.7.2 Exemple 2 36
1.6.3.8 Utilisation d’une sollicitation auxiliaire 37
1.6.3.9 Exemples d’application 38
1.7 conclusion 39
Generalité sur la méthode des élements finis 40
Classification des problèmes d’analyse des contraintes 45
2.1.1 Introduction 45
2.1.2 Noeuds et éléments 45
2.1.3 Etapes d’analyse par la MEF 46
2.1.4 Etapes d’analyse par la MEF 47
2.1.5 Connaissances nécessaires à un utilisateur MEF 49
2.1.6 Discrétisation 50
2.1.7 Analyse lineaire statique des barres articulees et des poutres 52
2.2 Solutions Analytique et Numérique des Poutres Hyperstatiques 53
2.2.1 Introduction 53
2.2.2 Déduction de la matrice de rigidité pour l’élément de barre articulée 54
2.2.3 Déduction de la matrice de rigidité pour l’élément de poutre 55
2.2.4 Systèmes de coordonnées globals et locals 56
2.2.5 Propriétés de la matrice de rigidité 57
2.3 Exposition de la méthode aux problèmes unidimensionnels 58
2.3.1 Elément de barre à deux nœuds avec joints rigides 59
2.3.2 Interpolation nodale sur les déplacements 59
2.3.3 Relation déplacement -déformation 60
2.3.4 Relation déformation – contrainte 60
2.3.5 Calcul des efforts internes 61
2.3.6 Calcul de la matrice de rigidité élémentaire 62
2.3.7 Formulation globale 63
2.4 Assemblage pour plusieurs éléments 64
2.4.1 Formulation élémentaire 64
2.4.2 Matrice de rigidité globale (par assemblage) 65
2.5 Logiciel Maple 66
2.5.1 La résolution du système d’équations 66
2.5.2 Entrée des données 67
2.6 La résolution d’un modèle éléments finis 68
2.6.1 Organigramme du programme de calcul 68
2.6.2 Résolution et analyse des résultats 69
2.6.3 Le calcul des résultats demandés par l’utilisateur : le post-traitement 70
2.6.4 Déplacements et déformées 71
2.6.5 Déformations, contraintes et efforts de liaison 72
2.6.6 Choix raisonné du degré de complexité du modèle 72
2.7 Conclusion 73
Chapitre 3: Etude du comportement des poutres hyperstatiques par les méthodes analytiques et numériques 74
3.1 Introduct 74
3.2 Representation de la théorie des poutres en éléments finis 75
3.2.1 Rappel sur la théorie des poutres 75
3.2.2 Formulation en élément finis 76
3.2.3 Matrice de rigidité élémentaire de flexion [K] 77
3.2.4 l’expression du moment de flexion M ̊(x) 78
3.3 Code de calcul par éléments finis 79
3.4 Étude comparative 80
3.5. Exemple 01 81
3.5.1 Solution éléments finis 81
3.5.1.1 Matrice de rigidité élémentaire 82
3.5.1.2 Matrice de rigidité globale 82
3.5.1.3 vecteur des forces nodales {F} 83
3.5.1.4 Résolution du système 83
3.5.1.5 système de détermination déplacements inconnus 84
3.5.1.6 Système de détermination des réactions d’appuis 84
3.5.1.7 diagramme des moments 85
3.5.2 Solution analytique 86
3.6 Exemple 02 87
3.6.1 Solution analytique 87
3.6.2 Solution éléments finis 88
3.7 Exemple traitement 89
3.7.1 Influence de la position de la charge sur le comportement de la poutre continue 89
3.7.2 Présentation et interprétation des résultats 90
3.7.2.1 Présentation des résultats 90
3.7.2.2 Commentaires 90
3.8 Conclusion 91
Conclusion generale 92
Références bibliographiques 93
Annexe 94
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